Nyheter & aktuell information Elteknik (LEU 460) Utdelat material kommer att hittas under rubriken "Dokument" i rutan till vänster. Välkommen till kursen i Elteknik, höstterminen 2016! Korta sammanfattningar av de lektionerna kommer att finnas längst ner på denna sida. Under "Dokument" finns dels skriftliga dokument såsom kurs-PM, övn.uppgifter etc, dels länkar till ett urval av hemsidor. Lab-PM läggs in under kursen gång, minst en vecka innan aktuellt lab.tillfälle. ------------------------------------------------------------------------------------------------- 28/8: Augustitentan är rättad och inrapporterad. Kontakta Arto om granskning & uthämtning. 18/8: Augustitentan+ lösningar finns nu bland dokument. 10/1: Resultat från decembertentan är nu ladokinrapporterade. Tentan kan hämtas och rättningen granskas exempelvis imorgon (onsdag 11/1) förmiddag hos mig på vån. 4 i hus Jupiter. 30/12: Preliminärt tentaresultat från decembertentan (bonuspoäng från laborationer har INTE adderats ännu) finns i en fil i mappen med övningar & tentor bland "Dokument". Tentorna ska ännu avanonymiseras och ladokinrapporteras (detta görs tidigast 9/1) innan granskning kan ske. 22/12: Decembertentan + lösningar finns nu bland dokument. 23/11: Oktobertentan är nu ladokinrapporterad. Uthämtning och rättningsgranskning kan ske i sal J121 onsdag 23/11 kl.12.05. 14/11: Preliminärt tentaresultat (bonuspoäng från laborationer har INTE adderats ännu) finns i följande fil: Tentaresultat-innanlabbonus-oktober2106.pdf Tentorna ska ännu avanonymiseras och ladokinrapporteras innan granskning kan ske. 19/10 All lektionstid är nu förbrukad. Samtliga labbonusuppgifterna är rättade, totalpoängen är inskriven i inlämningsmappen "RESULTAT BONUSPOÄNG". Återstår för er del formtoppning inför tentan: Träna på realistisk tentasituation, dvs gör hela övningstentor med de hjälpmedel som gäller. Snegla inte på lösningarna innan ett ärligt försök gjorts på hela tentan. Rätta själv för att se behovet av mer övning på specifika moment. Gör det och testa på ny övningstenta. Fråga [varandra, kom till mitt arbetsrum (torsdag -fredag är jag dock troligen på Johanneberg), skriv epost etc.] om du kör helt fast. Trötta inte ut dig utan satsa på högkvalitativt arbete (det är som formtoppning, inte mängdträning som gäller nu)! Kom utvilad till tentan! 17/10 Nu är genomgångarna för hela kursinnehållet klart. På onsdag repeterar vi. Önskemål om aktiviteteter tas emot! Ett förslag som kom under måndagen var att räkna en gammal tenta: Det kan jag göra, fast inte en hel tenta med detaljerade lösningar (då får vi för lite tid till era egna frågor), i så fall kommenterar jag några av uppgifterna i ex.vis förra årets tenta. 11/10: Inlämningsmappen för lab.2 är nu öppen igen för inlämning av reviderade rapporter. Sista tid: måndag 17/10 kl.17.00. 7/10: PM för lab.4 finns nu här i pingpong. 4/10: Årets nobelpris i fysik: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2016/press-sv.html 28/9: Efter fråga/påpekande från student görs här en eventuell rättelse till sambandet mellan utströmmen och medelströmmen genom induktorn i en step-up omvandlare: Antagandet om ideala komponenter ger att Pin=Put som leder till att iL,medel=IUT·Uut /Uin =IUT / (1-δ). Jag kan ha tappat bort Iut i mellanledet. 28/9: PM för lab.3 finns nu bland dokument. 27/9: Två nya länkar finns nu bland "LÄNKAR" i mappen "DOKUMENT". De handlar om Sveriges ingenjörers hederskodex samt om akademisk hederlighet. Det är passande läsning så här i experiment- och rapportskrivningstider. 23/9: Jag la till en liten punkt bland bedömningskriterierna (angående att strukturen ska vara tydlig). Filen är uppdaterad. 23/9: Jag har lagt ut lösningar till en del av övningsuppgifter (ur övn.häftet samt elläraboken; för elektronikbokens uppg. se länk till bokens hemsida). Det är dock viktigt att ni använder lösningarna på rätt sätt, d.v.s. försök alltid först lösa uppg. själv, diskutera sedan med kurskamrater och lärare, och därefter om det behövs studera lösningen. 23/9: Dokumentet som beskriver bedömningskriterier för rapporten för lab finns nu i pingpong. 23/9: Årets Ig Nobel pris har delats ut (även detta skedde 22/9!): Läs mer på http://www.improbable.com/ig/ 22/9: MER INFO om rapportskrivning lab.2: ONSDAGEN 28/9 ska ni under lektionstid (en av timmarna) läsa och kommentera varandras rapporter, innan det är dags att lämna in dem till oss lärare (3/10). Denna aktivitet är obligatorisk. Ta med en pappersversion av rapporten (så att vi kan forma "rapportcirklar" som innehåller ca 4 lab.grupper som läser/kommenterar varandra). Imorgon fredag lägger jag in i pingpong ett kort dokument (1 sida) om grundläggande bedömningskriterier. 22/9: Faradays födelsedag (225 år!). Passande läsning för intresserade: "Faraday, Maxwell, and the electromagnetic field" av Nancy Forbes & Basil Mahon. För en något kortare text, se: https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday Dessutom infaller höstdagjämning i år denna dag. 21/9: En text som beskriver grunder i rapportskrivning finns nu i mappen "LABORATIONER" bland "Dokument". Den är ursprungligen skriven för en projektkurs på tekniskt basår och därför nämns bl.a. "Fysikbok" etc. Texten innehåller några ord om muntlig presentation som inte ingår i Elteknikkursen. För er är textavsnitt 2 mest relevant (men läs gärna allt). 12/9: Liten korrektion till svar till GD-stegsdiskussionen under räkneövningen: Rut ska vara 39 ohm. 9/9 PM till lab.2. finns nu bland dokument. 9/9 Längre ner på sidan här finns nu korta sammandrag av de två första läsveckors lektioner. "Dagboken" fylls på succesitv under kursen. 7/9: Svar till uppg. AC20c har korrigerats, samt svar till AC21 har kompletterats. Kort sammanfattning av beräkningsmodell för NMOS-transistor finns i mappen "GRAFER" bland DOKUMENT. 6/9: En liten korrektion till PM för lab1: I MÄTuppgift 1c ska kondensatorn ha kapacitansen 47 nF eller 68 nF (tidigare stod felaktigt 68 F!) Uppdaterad version finns bland dokument. Övningshäftet är uppdaterat (några få omformuleringar av AC16-AC23 samt svar till dessa uppgifter, så när som på ren grafritning.) 1/9: PM för laboration 0 och laboration 1 finns nu bland dokument. 1/9: Jag har redigerat lite i övningshäftet och numrerat om och delvis skrivit om AC16-AC21 till AC16-AC23. Listan av rekommenderade uppgiften är därmed också uppdaterad. 30/8: Kurs-PM har uppdaterats med kursrepresentanter, samt läsanvisning till elläran denna första läsvecka. Kursrepresentanterna är nu utsedda och uppdraget har tillfallit: Philip Hoang, Kudvig Johansson, Carl Larssonoch Mika Segerström 29/8 är det dags igen! Eltekniken ligger i startgroparna och på måndag är vi igång. Första lektionen är en introduktion till kursen OCH enkort repetition av delar av elläran från årskurs 1, lite gymnasiefysik och komplexa tal. Titta gärna själv lite i förväg på några av uppgifterna i dokumentet "Ellära-diagnostik-inför-ET-LP1-2016-pdf" och läs sammandraget om för kursen relevant gymnasiefysik i "Elektromagnetism-gymnasiesammanfattning-2016.pdf" som finns här på pingpongsidan i mappen "ÖVNINGAR och TENTOR" respektive "TEXTER". 4/7: Preliminär version av kurs-PM finns nu i mappen "ALLMÄNT" bland "Dokument". -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VECKOSAMMANFATTNINGAR --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Läsvecka 8 ----------------- Lektion 28 (19/10, f.m., 3h, Repetition) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Repetition genom diskussion och kommentarer kring tentan från oktober 2015. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 27 (17/10, f.m., 3h, magnetiska kretsar) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -Repetition av passiva komponenters icke-ideala egenskaper. Exempel av beräkningsscheman för kondensator. Kort diskussion av högfrekvensegenskaper hos transistorer samt hur en "LC-krets" kan omvandlas till en rak ledning alternativt en "burk". Introduktion till magnetiska kretsar Utgående från cirkulationslagen för magnetfält (Amperes lag, dock utan förskjutningsström: Summan av alla H·d ändringar under ett varv i en slinga=av slingan omsluten ström. Notera: Slingans längd har betecknats här med "d", på lektioner och i boken används bokstaven "l" som i "längd" men tyvärr ser den ut som "strömmen" I här i pingpong så för tydlighets skull sätter jag längden till "d") formuleras Hopkinsons lag ("Ohms lag" för magnetiska kretsar): N·I=R·Φ, som är ett samband mellan strömmen och det resulterande magnetiska flödet. R är storheten reluktans och beskriver hur "svårt" det är för magnetflödet att genomkorsa materialet. Enheten för R är 1/henry. Man tänker sig själva slingan som en "tub" inne i violken man har ett magnetiskt flöde Φ. Flödestätheten i tuben är B = Φ/A där A är tubens tvärsnittsarea. R=medellängden på sträckan där flödet finns dividerat med (permeabiliteten*tvärsnittsarean) = d/(μ·A) där μ=μr·μ0 .Jämför snarlika uttryck för resistans=d/(σ·A), kapacitans=ε·A/d och induktans=N2μ·A/d. Vid beräkningar om magnetiska kretsar kan man tillämpa samma metoder som vid likströmsberäkningar om man ser magnetiska flödet Φ som strömmen, spolens N·I som en källa ("mmk"=magnetomotorisk kraft) och reluktanserna som belastningar. Hopkinsons lag motsvarar ohms lag, serie- och parallellkoppling av reluktanser kan tillämpas, flödesförgrening och mmk-vandring kan göras, etc. Kommentar: Jag tycker personligen att det vore bättre att benämna N·I med "mms", "magnetomotorisk ström" med det används dessvärre inte.) Vid rotning av beräkningsschemat inför man källor ("N I" med korrekt polaritet så att flödet går ut ur "+") och reluktanser. Reluktanser införs så att man identifierar sträckor ("tuber") där flödet inte ändrar sig samt μ & A är konstanta. Resultatet blir ett "kretsschema" på vilken likströmsberäkningsmetoder kan tillämpas. Vi har antagit i vårta beräkningar att sambandet mellan B & H är linjärt: B=μ·H. I verkliga järnkärnor är detta dock ofta inte sant, utan sambandet är icke-linjärt vilket komplicerar beräkningarna. Mmk-ändring över en sträcka med längden d är H·d där H=magnetiska fältstyrkan. Jämför med potentialändring i en kondensator=E·d. Demoräkning av 3 st. exempel: i) en källa och en reluktans (sluten järnklärna), ii) en källa och två reluktanser i serie (järnkärna med luftgap), iii) en källa och en järnkärna med två "magnetiska slingor" [tre reluktanser, serie- & parallellkoppling]. Läsvecka 7 ----------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 26 (12/10, 2h, Icke-ideala komponenter) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Impedansens frekvensberoende -Diskussion av impedansen frekvensberoende hos dels ideal resistor, kondensator, induktor, samt hos "verkliga" (icke-ideala)resistorer, kondensatorer & induktorer: Samtliga komponenter har R, L & C, men oftast så dominerar någon av dem. Vid låga & medelhöga frekvenser är den normalt den "förväntade" egenskapen som dominerar (t.ex. C för kondensatorer), men vid höga frekvenser kan komponenterna ändra karaktär, t.ex. spolar blir kapacitiva. Se ekvivalenta kretsscheman för resistor, kondensator och induktor i Molin och reflektera över de olika egenskapernas ursprung! -Diskussion av märesultat + modellering av egenskaper hos spolen (600 varv) som användes i lab.3. -Vid (i kretssammanhang) mycket höga frekvenser räcker ej heller dessa modeller utan mikrovågsteori måste användas. -Fenomenet strömförträngning (som har induktion som orsak) leder till att resistansen för en ledare ökar vid höga frekvenser. Växelströmsresistansen RAC kan skrivas som RAC=RDC·A/(2π·r·δ) där RDC är resistansen vid likström, A är ledarens tvärsnittsarea, r är ledarens radie och δ är "inträngningsdjupet"=tjockleken på det skikt närmast ledarens yta dit strömmen "förträngs" vid höga frekvenser. Delta i sin tur beräknas som δ=1/kvadratroten(π·f·μ·σ). Det leder till att RAC är proportionell mot kvadratroten ur frekvensen. ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Läsvecka 6 ----------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 25 (5/10, 2h, Dioder forts. + övning) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -Repetition Shockleys ekvation samt typiska vilopunkter för några olika typer av dioder. -Demonstration (med grafer) om att framspänningens storlek ("0,7 volt" i normaldrift) faktiskt beror mycket på i vilken del av diodekvationen man är, d.v.s. strömmens storlek. Vid låga strömmar är man i nedre delen av grafen och då är även framspänningen lägre ... Lysdiod (LED, light emitting diode): Arbetar i första kvadrant, d.v.s. framspänd. Ström drivs genom dioden och en del av elektronerna som kommer in i utarmningsområdet (spärrskiktet) rekombinerar med hål på sådant sätt att den avgivna energin sänds ut i form av ljus. Informativ websida om halvledarteknik och solceller: http://www.pveducation.org/pvcdrom/solar-cell-operation/iv-curve Fotodiod och solcell Ljus som infaller mot halvledare kan absorberas och ge upphov till att en elektron exciteras från valensbandet till ledningsbandet och därmed blir fritt rörlig. Ett elektron-hålpar har producerats. Om den inte hinner rekombinera innan den rycks med av pn-överångens E-fält, så kommer den att bidra till backströmmen hos dioden. För ström-spänninggrafen innebär detta, att hela grafen förskjuts "neråt", ju högre intensitet hos innefallande ljus, desto fler elektron-hålpar kan bildas och desto mer förskjuten graf och starkare backström. Fenomenet utnyttjas i fotodiod och solcell. Fotodiod: Används som detektor av ljus (oftast i det infraröda våglängdsområdet). Dioden arbetar backspänd i den tredje kvadranten (UD<0, ID<0). Backström mäts och styrkan är proportionell mot infallande ljusets intensitet. Resulterande strömstyrkan är ofta låg, tiotals mikroampere. Vissa fotodioder nyttjar "lavinmekanismen" som finns i zenerdioder och erhåller då en högre känslighet; även en låg ljusstyrka leder då till ett stort antal elektroner. Dioden benämns APD, avalanche photo diode. Solcell (på engelska "photovoltaic cell"): Fungerar som en konstant-strömgenerator upp till en viss utspänning, då strömmen sjunker dramatiskt. Infallande ljusets intensitet avgör strömmens nivå. Solcellen arbetar i den fjärde kvadranten (UD>0, ID<0), dvs effekten blir negativ, vilket innebär att den avger effekt till en belastning. Lastresistansen kan väljas så att max.effektutveckling erhålls. Eftersom strömstyrkan är ungefär konstant, skall R väljas så att den resulterande spänningen blir sådan att den ligger nära det värde där strömmen börjar avta snabbt. En riktigt solig dag med klar himmel an solljusets intensitet komma upp till ca. 1000 W/m2 (ovanför atmosfären är intensiteten 1370 W/m2). En enhet för intensiteten som används i solcellsdatablad är 1 sun = 1000 W/m2. Solcellens uteffekt kan höjas om man koncentrerar det infallande solljuset med t.ex. linser. Då kan betydligt högre värden än 1 sun (och därmed högre uteffekt i cellen) erhållas. Arean hos en enskild cell är av storleksordning 1 cm2. En cell ger typiskt ca. 0,5 V och 50 mA. I solpaneler serie- och parallellkopplar man många celler så att önskad spänning, ström och uteffektnivå erhålls. Bland "dokument" finns en enkel modell över solcellen som en diod parallellkopplad med en strömkälla (backströmmen som alstras av det infallande ljuset). -------------------------------- DEMOEXEMPEL: -maxeffekt från en solcell RÄKNESTUGA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 24 (3/10, e.m., DC-DC omvandlare forts., Dioder) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ DC-DC omvandlare: Rippel hos UTSPÄNNINGEN -Repetition av strömripplet och medelströmsnivån hos omvandlarna. Högre induktans ger lägre strömrippel. -Diskussion av utspänningsripplet: Önskemålet är en helt konstant utspänning men i verkligheten finns små variationer orsakade av de i kretsen ingående komponenterna. Step-up omvandlaren När switchen är i TILL-läge så står kondensatorn ensam som energikälla till utspänningen. Då sker en liten urladdning, som sänker kondensatorns spänning något. I FRÅN-läge hjälper induktorn till med matning till utspänningen samt laddar upp kondesatorn. Urladdningen i TILL-läget leder till utspänningsrippel. Max.värdet kan uppskattas m.h.a. iC=C·duC/dt vilket ger ΔuC=iC·(Δt)/C, som i TILL-läget kan skrivas |ΔuC|=| IUT·T·δ/C |, där IUT är strömmen till lasten och δ är pulskvoten. Vi ser att om kapacitansen C ökas så minskar ripplet. Step-down omvandlaren Tre exempel på bidrag till ripplet i utspänningen (Fall 1 ej beskrivet i Molin, fall 2 & 3 finns i Molin): 1) Kondensatorn håller i stort sett en konstant laddning men liten upp- resp. urladdning sker i och med i TILL-läge magnetiseras induktorn och bidrar inte med ström till resten av kretsen (då får lasten ström enbart från kondensatorn), medan i FRÅN-läge ger induktorn ström till såväl kondensator som last. ΔUut≈ΔUc=Δqc/C där Δqc är laddningsändringen hos kondensatorn. Denna kan uppskattas som arean under strömgrafen (kondensatorströmmen varierar på samma sätt som induktorströmmen men är centrerad kring noll). Under halva perioden är strömmen in i kondensatorn positiv och då sker uppladdning: Δqc/=0,5 (ΔiL/2) (T/2) vilket ger ΔUut≈ΔUc=(ΔiL T)/(8C). 2) LC-länken fungerar som ett filter som matas av en fyrkantvåg. Spänningen över kondensatorn får en DC-nivå samt ett tidsvarierande bidrag. Tidsvarierande bidraget kan approximeras som grundtonen i Fourierserien för en fyrkantvåg. Denna oscillerar sinusformat i tid med amplituden 2·UIN/(π·L·C·(2·π·fsw)2) 3) Kondensatorer är inte ideala utan har t.ex. resistans, denna kan för en given frekvens modelleras som en liten seriekopplad resistor, rC. Strömripplet hos induktorn leder till en ström i kondensator med samma form och då adderas en tidvarierande spänning med maxvärdet rC·0,5·|ΔiL| till kondensatorn konstanta nivå. UUT=spänningen över kondensatorn och då blir ripplet rC·0,5·|ΔiL|. ----------------------------- -Repetition av pn-övergången, -Funktionsprincip, vilopunkter och tillämpningsområden för olika typer av dioder (likriktar- och signaldiod, Zenerdiod, kapacitansdiod, lysdiod, fotodiod, solcell). Repetition av pn-övergången Diffusion av fritt rörliga elektroner från n-sidan till p-sidan, fritt rörliga hål från p-sidan till n-sidan, resulterande "spärrskikt" med ett E-fält och potentialskillnad. Området kallas också utarmningsområde eftersom det är utarmat på FRITT rörliga laddningar. Eftersom området har en laddningsfördelning så har den även kapacitans. Kapacitansen beror öven av spänningen, då områdets längd ökar med backspänning (C minskar) och mänskar med framspänning. Dessutom ändras laddningen med spänningen. -Diodekvationen (Shockleys ekvation) ger ström-spänninggrafen (ID som funktion av UD). Denna kan succesivt approximeras med (1) linjär modell med framspänning & resistans, (2) endast framspänning, och slutligen (3) framspänningen noll. Exempel på olika typer av dioder "Vanlig" kiseldiod: används som switchdiod eller som likriktardiod. I switchtillämpningar måste mycket snabba omslag kunna ske och därmed måste diodens kapacitans vara liten. -Schottkydiod: samma tillämpningsområdensom kiseldioden. Schottkydioden har dock ofta en lägre framspänning, och lägre kapacitans (vilket gör den snabbare). Backströmmen är dock högre. Till skillnad från kiseldioden som har en pn-övergång med dopade halvledare, består Schottkydioden av en metall-halvledareövergång. Koncentrationen av fritt rörliga laddningar vid övergången blir då högre än vid en pn-övergång. -Kapacitansdiod (varaktor): utnyttjar att pn-övergångens kapacitans beror av spänningen över den. Vilopunkten är tredje kvadranten i diodgrafen, d.v.s. dioden är backspänd (UD<0, ID<0). C är proportionell mot 1/(1-UD/U0)m där m=ofta 0,33 - 0,5 och U0=framspänningen. Tillämpningsområde är ex.vis kretsar i radioteknik där resonansfrekvensen önskas vara spänningsberoende. -Zenerdiod: Vilopunkten i normaldrift är tredje kvadranten, alltså backspänd. Halvledarmaterialet är kraftigt dopat och utarmningsområdet (spärrskiktet) blir tunt. Vid tillräckligt hög backspänning ökar plötsligt strömmen kraftigt i backriktning och spänningen blir ungefär konstant. Orsaken är en kraftig ökning av fritt rörliga ledningselektroner som kan frigöras med två processer: (1) Fri elekron accelereras kraftigt av starkt E-fält och via kollisioner frigör andra elektroner, antalet elektroner ökar då lavinartat ("avalancheeffekten"), (2) E-fältet i spärrskiktet blir så kraftigt att valenselektroner "slits" loss och blir ledningselektroner ("Zenereffekten"). Båda mekanismerna kan samverka. (2) dominerar vid små Zenerspänningar upp till ca. -5 V, (1) dominerar från ca. -7 V och uppåt. Tillämpningsområde: Spänningsreferens, spänningsregulator. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 23 (3/10, f.m., räknestuga) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Räknestuga ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Läsvecka 5 ------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 22 (28/9, 2h, DC-DC omvandlare) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -Repetition av funktionsprincipen för swichade DC/DC-omvandlare (av typ step-down resp. step-up). Switchens (ofta transistor) uppgift är att "hacka" insignalen så att spänningen över induktorn blir diskontionuerlig med två olika likspänningsnivåer. Induktorns uppgift är att lagra energin den får från inspänningskällan, och sedan vidarebefordra den till dels belastningen ansluten till utspänningen, dels till kondensatorn. Kondensatorns uppgift är att lagra energi från induktorn och dels mata belastningen under den tid som induktorns ström är för låg. Kondensatorn, som är en "spänningströg komponent" fungerar också som en utjämnare av utspänningsnivån. Kretsen innehåller även en reglermekanism som inte är explicit beskriven i de enkla principscheman som vi studerat. I kort innebär det att utnivån återkopplas och jämförs med en referens varvid skillnaden får styra pulskvoten ("pulsbreddsmodulation") delta så att utspänningen justeras lite uppåt eller neråt efter behov. -Step-up omvandlare (Boost-converter) Denna typ av DC/DC-omvandlare ger UUT > UIN. Återigen bestäms utnivån av pulskvoten δ: UUT = UIN/(1-δ), båda spänningarna har samma polaritet. I switchens TILL-läge är uL=UIN medan i läge FRÅN är uL= UIN-UUT. Strömripplet definieras på samma sätt via Faradays lag som för step-down fallet: |ΔiL|=|uL·Δt / L| och får nu i TILL- resp. FRÅN-läget värdet |ΔiL|=|UIN·T·δ/L|=|(UIN-UUT)·T·(1-δ)/L|. På samma sätt som i step-down fallet, så kan |Δ iL| bli så stor att omvandlaren hamnar i diskontinuerlig mod. Genom energibetraktelse av hur energi lagras och avges av induktorn (se exempletfrån lektion 21 med enbart induktor) erhålles att: UUT=UIN/(1-δ) Eftersom vår modell är förlustfri så är Pin=Put där Pin=Uin iL,medel och Put=Uut Iut. Detta leder till att och utströmmen blir IUT=iL,medel ·Uin /Uut =iL,medel · (1-δ). -Demoexempel med step-up omvandlare I Molin diskuteras även kort en tredje typ, inverterande omvandlare, som byter polaritet och omvandlar en positiv UIN till en negativ UUT. Kopplingen fungerar både som step-down och step-up och kallas "buck-boost-converter". UUT= - UIN·δ/(1-δ) 0<δ<0,5 ger |UUT| < |UIN| d.v.s. step-down (men polaritetsbyte) 0,5<δ<1 ger |UUT| > |UIN| d.v.s. step-up (men polaritetsbyte) Lektions andra timme ägnades åt "peer-review", d.v.s. att studenter läser, diskuterar och kommenterar (ger återkoppling på) varandras rapporter (lab.2). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 21 (27/9, 2h, DC-DC omvandlare) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -Repetition av induktorns funktionsprincip genom ett demoexempel där spänningen över induktorn (uL) varierar mellan två konstanta nivåer, en positiv (U1) resp. en negativ (-U2) d.v.s. ett slags fyrkantvåg. Nivån U1 råder under tiden δ·T där δ är "litet delta, här ett tal mellan 0 och 1" och T är perioden och nivån -U2 under (1-δ)·perioden. Induktansen L och medelvärdet av strömmen genom induktorn (iL,medel) var givna. Vi beräknade hur strömmen iL varierar med tiden (resultat är en "triangelvåg" som omväxlande ökar resp. avtar linjärt med tiden kring medelvärdet): strömändringen under respektive tidsinterval beräknas därmed med ΔiL = uL Δt/L. Här och i resterande exempel med induktorer utelämnas minustecknet i Faradays lag och istället väljer vi referenspolariteten så att +polen är på den sida av induktorn där strömmen går in, vilket innebär att uL räknas positiv då strömmen ökar i styrka (di/dt>0). Vi studerade också hur mycket energi lagras resp. avges när induktorn magnetiseras (strömstyrkan ökar) och avmagnetiseras (strömstyrkan avtar). Energiändringen mellan två tidpunkter t2 (sluttid) och t1 (starttid) beräknas genom integration av den reaktiva effekten p(t)=uL(t)·iL(t) m.a.p. tiden. Här kan (minst) två olika sätt användas: 1) Rita grafen av p(t)=uL·iL som funktion av tiden och beräkna areor under den för att få energin. som enklast beräknas som medeleffekt gånger tidsintervallets längd; 2) skriv om uLiL till 0,5iL·diL/dt vilket är detsamma som 0,5·L·d[(iL)2/dt] och integrera m.a.p. tiden vilket resulterar i uttrycket 0,5·L{iL2(t2)-iL2(t1)}. Energin är alltså kvadratisk m.a.p. strömmen. Notera att effekten är reaktiv och beskriver energiflöde som lagras upp eller avges av induktorn, och inte resistiva förluster i form av värmeutveckling. Bevarandet av energi (reaktiv komponent -> energi omväxlande lagras upp och avges) leder till att man kan skriva sambandet emllan U1, U2 och δ som: U1 /U2 = (1-δ)/δ . Resultatet av denna demouppgift har vi glädje av när vi studerar spänningsomvandlare. Elektronikkretsar med aktiva komponenter behöver förses med energi. Ofta är det önskvärt att den aktuella spänningskällan (eller strömkällan, i fortsättningen diskuteras endast spänningskällor) levererar en konstant likspänning (eller likström) med en önskad nivå som inte nämnvärt påverkas av vare sig variationer hos belastningen eller variationer hos de källor som in sin tur ger energi åt likspänningskällan. Utspänningsvariationens storlek p.g.a. variation hos belastningsresistansen (d.v.s. belastningsströmmen, då UUT är i stort konstant) benämnes Load Regulation, alternativt Output Regulation, medan variation i UUT p.g.a. variation hos UIN benämnes Line Regulation alternativt Input Regulation (se lab.4). För att kunna erhålla en önskad och stabil utspänningsnivå krävs dels att man kan omvandla spänningen från en nivå till en annan, dels ett reglersystem som känner av utspänningen och korrigerar den vid behov (via återkoppling och jämförelse med en referens). Nedan står kort om linjära spänningsaggregat (diskuterades inte under lektionstid, läs själv här och i boken). Tyngdpunkten på innehållet i kursen är switchade omvandlare (ändring av likspänningsnivån), som diskuteras längre ner. Linjära spänningsaggregat AC/DC omvandling via transformator (ändrar spänningsnivån hos växelspänningen), likriktare (omvandlar växelspänning till likspänning dock med en varierande nivå), glättning (kondensator som jämnar ut spänningsvariationen till en relativt konstant nivå). Ofta finns inbyggd strömbegränsare som stänger av utgången när en utströmmen överskrider inställd max.nivå. För reglering används exempelvis "shuntreglering" eller "seriereglering", se Molins bok. DC/DC omvandling sker ofta med integrerad krets som både omvandlar spänningsnivån och reglerar den. Endast ett fåtal yttre komponenter (främst kondensatorer) behöver anslutas (se lab.4) En brist hos linjära aggregat är verkningsgraden, som inte blir alltför hög p.g.a. förlusteffekten i aggregatets kretsar. Inspänningen är inkopplad hela tiden. Förlusteffekten kan minskas om man använder reaktiva komponenter (induktorer, kondensatorer) för överföring av energi mellan två olika spänningsnivåer. Switchade spänningsomvandlare I denna typ av spänningsomvandlare sker inte inmatning av inspänningen till hela kretsen kontinuerligt utan man "switchar" med hög frekvens (fsw) mellan två konfigurationer ("TILL" resp. "FRÅN"). Om switchperioden är T=1/fsw, så är switchen stängd (sluten) under tiden δ·T och öppen under tiden (1-δ)·T. Variabeln δ kallas switchens pulskvot och är ett tal mellan 0 och 1. Idén är att använda induktorers och kondensatorers förmåga att lagra elektromagnetisk energi. Vi studerar två typer av DC/DC-omvandlare (både inspänning och utspänning är likspänningar): Step-down omvandlare (Buck-converter) [Mätningar görs i lab.4] UIN omvandlas till en lägre spänning UUT iL,medel . Då blir iL=0 delar av switchperioden och man säger att omvandlaren arbetar i diskontinuerlig mod. Om iL> 0 hela tiden så är omvandlaren i kontinuerlig mod. |ΔiL|=|uΔt/ L| har samma värde under såväl TILL-läget som FRÅN-läget: |Δ iL|=|(UIN-UUT)T·/L|=|-UUTT·(1-δ)/L|. Genom val av induktansen L kan strömrippelnivån styras. Genom energibetraktelser (studera integralen av effekten p(t), d.v.s. areor under effektkurva: upplagrad energi+avgiven energi under en period är totalt = noll) erhålles att: UUT=δ·UIN och ur kretsschemat ser man att IUT=iL,medel. Lektionen avslutades med exempelräkning på en step-dowm omvandlare. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 20 (26/9, 2h, induktor) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Repetitionsexempel 1) Effektflöde i ett område som genomkorsas av ett tidsvarierande magnetfält. Vi studerade ett B-fält riktat in i tavlan och som ökar i styrka. CIrkulationslagen för E (Faraday) leder till att detta magnetfält samexisterar med ett cirkulerande E-fält med moturs cirkulation. De två fälten tillsammans ger ett effektflöde (Poyntingvektor S=(E x B)/μ) riktat in mot områdets centrum, dvs eenrgin i området ökar (vilket stämmer med att ett starkare magnetfält innehåller mer energi enligt formeln energitäthet= 0,5 B2/μ joule/m2). 2) Halleffekten Studerar man den magnetiska kraften på en laddade partiklarna i en ström som drivs genom ett material när material genomkorsas av ett B-fält, så finner man det sker en transport av laddning till sidorna av materialet. Resultatet är en spänning ("Hallspänning") mellan sidorna. Den kan användas till mätning av B-fält (om I känd och UHall mäts) eller som t.ex. vätskeflödesmätare (om B känd och UHall mäts och I relateras till vätskan fart. Läs i elläraboken! Självinduktion Självinduktionen innebär att det tidsvarierande magnetflödet orsakas av slingans (kretsens) egen ström. Fenomenet är ofta koncentrerat till en liten del av kretsen, i komponenten "induktor" (=spole, drossel), som innehåller i själva verket en slinga med stor area då den består av ett (stort) antal varv ledning. Vid strömförändringar induceras en spänning över induktorn, som därmed uppvisar ett "motstånd". Den är "strömtrög" (till skillnad från kondensatorn som uppvisar "motstånd" mot spänningsförändringar och är "spänningströg"). Induktorns egenskap beskrivs med storheten induktans (L, enhet henry), som är ett mått på hur stort sammanlagt (=adderat över alla "öppna ytor" i kretsen, t.ex. genom alla varven) magnetflöde fås vid en given strömstyrka, Φ=L·i. Faradays lag kan då skrivas uind.=-L·di/dt. För induktorer betecknas uind. oftast uL. När strömmen genom en induktor ökar så lagras energi i dess magnetfält, induktorn magnetiseras. När strömstyrkan nått nivån i så är den upplagrade energin=0,5·L·i2 (jämför uppladdning av kondensator och i den upplagrad energi!) Induktansen L beror av antalet varv ledning, geometrin och materialet. Formlerna för olika induktorer ser "formmässigt" ut enligt följande tumregel: L=N2 μ A/x, där A är tvärsnittsarean hos induktorn (som genomkorsas av magnetfältet) och x är induktorns längd (längs magnetfältet). Att antalet varv kvadreras beror på att flödet genom ETT varv har bidrag från strömmen i samtliga varv, samt att den totala area i systemet som genomkorsas att magnetfält är antal varv gånger arean för ett varv. Exempel: Diskussion kring induktansen för en solenoid och effektflödet inne i och utanför solenoiden. Gör själv: Bestäm en formel för induktansen i en "plattinduktor" (två platta ledare som är kortslutna i ena änden), och skissera effektflödet inne i /utanför den om ledningen ansluts till en strömkälla. Vid beräkningar med induktorer i en krets kan polariteten för uind. bestämmas med snarlikt resonemang som användes ovan för slinga med externt magnetfält: 1. Bestäm strömmens (i) riktning innan förändring. 2. Bestäm riktningen för di (flödestäthetens ändring) 3. Bestäm riktningen för -di. 4. Inducerade spänningens +pol är i den induktorände som "kan tänkas" mata ut ström i samma riktning som -di. Induktionen MOTVERKAR (=fördröjer) förändringar i kretsens ström. Maxwell och kondensator & induktor De tidsberoende termerna i cirkulationslagarna tillämpade på en kondensator (Ampere) respektive induktor (Faraday) leder till de ur kretslära bekanta uttrycken: iC= C duc/dt uL= - L diL/dt Kirchhoffs spänningslag Kirchhoffs spänningslag fås direkt ur Faradays lag om dΦ/dt=0 d.v.s. om man har en slinga som INTE genomkorsas av ett tidsvarierande magnetfält (varken externt eller p.g.a. kretsens egna strömmar). Cirkulationen av E-fältet är då lika med noll. Cirkulationen i sig är en summa av små potentialändringar i form av E (skalär)multiplicerat med korta "steglängder" längs slingan när den genomlöps ett varv. Inverkan av magnetfält utifrån ("externa" fält) och självinduktion görs genom att lägga till termer som beskriver de inducerade spänningarna (dvs "högerledet" i Faraday). ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Läsvecka 4 ------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 19 (21/9, e.m., 2h, övning) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Räknestuga. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 18 (21/9, f.m., 2h, Induktion, Faradays lag, motor- och generatorverkan) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -Repetition av Maxwells ekvationer så långt: Två flödeslagar (Gauss för E resp. Gauss för B), samt en cirkulationslag (Ampere, strömmar och tidvarierande E-fält hör samman med med virvlande B-fält). Nu till den sista av Maxwellsekvationer: Faradays lag (som också en cirkulationslag) och beskriver fenomenet magnetisk INDUKTION. En slinga genomkoras av ett tidsvarierande magnetfält. Ett tidsvarierande magnetiskt flöde hör ihop med cirkulation hos E-fältet. Om detta magnetiska flöde alstras av kretsen själv så talar man om självinduktion (se kommande lektion). Det cirkulerande E-fältet innebär att man i en slinga har en s.k. inducerad spänning (=elektromotorisk spänning, ems) som kan driva en induktionsström. Faradays lag: cirkulation av E-fältet= - dΦ/dt där det magnetiska flödet (Φ där vi utelämnat indexet "M") som genomkorsar slingans öppning kan i enklaste fall skrivas Φ=B·A. Detta samband gäller om B är vinkelrät mot slingans öppning och konstant m.a.p. positionen, d.v.s. enbart variation i tid (i allmänna fallet måste man integrera B över arean för att få Φ). Cirkulationen av E = E·slingans omkrets om E exakt följer slinga annars får man studera den andel av E som ligger samriktad med slingan och integrera längs slingan (se texten om Maxwells ekvationer). Eftersom E·sträcka=spänning så blir Faradays lag: uind.=-dΦ/dt som är inducerad spänning per varv slinga. Är slingan en ledare som virats runt N varv i slinga med öppningsarean A (som hålls konstant) så kan induktionslagen skrivas: uind.= - N A dB/dt -Diskussion av ett enkelt "sändar-mottagarsystem", där sändaren är en strömkälla ansluten till "slinga 1" och mottagaren är i form av "slinga 2". Delar av magnetfältet från slinga 1 genomkorsar slinga 2. Om strömmen i slinga 1 varieras så induceras en ström i slinga 2 (om en resistor sätts in som en del av slinga 2 så kan man också registrera spänningen över den). Ex. på tillämpningar: Energiöverföring, informationsöverföring, mätteknik (t.ex. Rogowskispolen som amperemeter), transformatorn (spänningsnivåändring) Även störningar mellan två kretsar kan beskrivas på det här sättet. -Spänning kan induceras även med en annan mekanism: En ledare rör sig med farten v i ett magnetfält. Studerar man hur den magnetiska kraften påverkar de lätt rörliga elektroner i staven, så ser man att det sker en laddningsseparation, som resulterar i en spänning mellan stavens ändpunkter (ett E-fält bildas inne i staven, uind.=E·stavens längd=v · B· stavens längd). Den inducerade spänningen i detta fall kallas "rörelse-ems", ems står för elektromotorisk spänning. Resultat är en enkel generator (linjärgenerator eftersom rörelsen är endimensionell) som omvandlar mekaniskt arbete, eller rörelseenergi, till elenergi. Ansluts generatorn till en last, som inte rör sig på samma sätt som staven, så drivs en induktionsström genom lasten. Strömmen gör att att staven även känner en bromsande magnetisk kraft. Man måste därmed utföra ett arbete mot denna kraft: En generator är alltså alltid även förknippad med "motorverkan". -En enkel elmotor (linjärmotorn): Tillämpa den magnetiska kraften tillämpar på en fritt rörlig stav som ligger på ledande skenor med genomkorsande B-fält. När strömmen (I) drivs genom staven så accelereras den (F=stavlängd·I·B). Vi har alltså här en enkel elmotor ("linjärmotorn"). Accelerationen begränsas av att genast när staven satts i rörelse så induceras en spänning över staven (som blir en "generator") som reducerar den sammanlagda strömmen (se nedan om rörelse-ems). Slutfarten blir v=E/B=U/(stavlängd·B). Motor- och generatorverkan hör alltid ihop! [En annan tillämpning av magnetiska kraften som vi tittar lite under nästa lektion och som ingår i lab.3 är Halleffekten, där ett material genomkorsas av ett B-fält, samtidigt som man driver ström genom materialet. Då transporteras laddning till sidorna av materialet som får en spänning ("Hallspänning") över sig. Det kan användas till mätning av B-fält (om I känd och UHall mäts) eller som t.ex. vätskeflödesmätare (om B känd och UHall mäts och I relateras till vätskan fart). Sammanfattningsvis: Vi har studerat två typer av induktion: 1. En slinga genomkorsas av ett tidsvarierande magnetfält. Ett tidsvarierande magnetiskt flöde Φ hör ihop med cirkulation hos E-fältet. Så långt har vi alltid studerat fall där detta magnetflöde orsakas av "någon annan" dvs är ett externt fält. Om istället det magnetiska flödet Φ alstras av kretsen själv så talar man om självinduktion (se kommande lektion). Det cirkulerande E-fältet innebär att i en slinga kan en potentialskillnad bildas (=inducerad spänning= elektromotorisk spänning, ems) samt en ström drivas. Faradays lag: cirkulation av E-fältet = - dΦ/dt Cirkulationen av E tolkas som en spänning (ems, kallas ibland för transformator-ems), vilket ger Uind.= - dΦ/dt. Om slingan omfattar N varv ledning, arean av området som genomkorsas är konstant och B har samma värde i alla punkter i området så kan vi skriva Uind.= - N A dB/dt. 2. En ledare rör sig med farten v i ett magnetfält. Studerar man hur den magnetiska kraften påverkar de lätt rörliga elektroner i staven, så ser man att det sker en laddningsseparation, som resulterar i en spänning mellan stavens ändpunkter (ett E-fält bildas inne i staven, uind.=E·stavens längd=v·B·stavens längd). Den inducerade spänningen i detta fall kallas "rörelse-ems", ems står för elektromotorisk spänning. Demoexempel: Ett tidsvarierande B-fält genomkorsar en kvadratisk slinga med beräkning av |uind.| [nästa lektion visas genomgång av en metod för bestämning av det cirkulerande E-fältets (och därmed induktionsströmmens) riktning och resulterande inducerade spänningen polaritet (vi antar nedan att arean är konstant så att magnetflödet Φ varierar precis i takt med flödestätheten B)] Bestämning av spänningens polaritet. Arean antas vara konstant, så flödesändringen beror enbart på flödestäthetsändring (dB/dt). Metod: 1. Bestäm magnetfältets (B) riktning innan förändring 2. Bestäm riktningen för dB (flödestäthetens ändring) 3. Bestäm riktningen för -dB (kommentar: minustecknet här är precis minustecknet i Faradays lag och är förknippad med den så kallade "Lenz lag") 4. Högerhandsregeln för cirkulation ger riktningen för E-fältet (tummen i riktn. för -dB, fingrarna ger E-fältets cirkulation). Inducerad strömmen är samriktad med E, inducerade spänningen får +pol i den slingände dit "strömmen transporterar" positiv laddning. Tänk på att slingan nu har rollen av en spänningskälla, dvs inne i källa=i slingan så är strömmen riktad från minuspol till pluspol (jämför strömriktning i ett vanligt batteri). KORTFATTAT: Ta reda på riktningen för magnetfältets förändring, MOTSATT riktn. ger "axeln" för E-fältets cirkulation som bestäms med högerhandsregeln för cirkulation. LÄS också om induktion i Elläraboken, texten om Maxwells ekvationer, samt sammandraget om gymnasiets ellära & magnetism. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 17 (20/9, f.m., 2h, kondensatorns funktionsprincip, förskjutningsström) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -Kort repetition av effektflöde och Poyntingvektorn (diskussion av likströmskrets) -Övergång från världen med enbart statiska laddningar och konstanta strömmar till att tillåta tidsvariation hos E-fältet. "Paradexemplet" här torde vara upp- resp. urladdning av en plattkondensator. När plattornas laddning ändras så ändras E-fältet mellan plattorna och spänningen mellan plattorna. Här utkristalliserar sig en viktig fråga: Vad menas med att en kondensator leder ström? Kondensatorn är uppenbarligen ett avbrott i och med isolermaterialet mellan plattorna. Dessutom tycks ju energitransport till/från kondensatorn (området mellan plattorna) vara omöjligt då den kräver både E- och B-fält för att Poyntingvektorn inte ska vara noll?! Amperes lag såsom vi formulerat så här långt måste modifieras. Lägger man till en term som har med tidsvariationen av E-fältet att göra så löses ovannämnda gåta! "Förskjutningsströmmen" Det visar sig att den ström I=dQ/dt som används vid t.ex. uppladdning av kondensatorn är till storleken lika med storheten ε·plattarea·dE/dt, som då får enheten amper. Genom omskrivning av uttrycket ser man att den är lika med C·dU/dt där U= spänningen mellan plattorna. I kretsteorin brukar detta representera "strömmen genom" en kondensator. Vi ser dock att det är korrektare att tala om en tidsvariation E-fältet mellan plattorna, som orsakas av att laddningen på plattorna ändras av en helt vanlig ström flyter fram till plattan (men går INTE genom området mellanplattorna). Termen ε·plattarea·dE/dt kallas dock inbland "förskjutningsströmmen" vilket är lite olyckligt då det inte rör sig om någon vanlig ström i form transport av laddning eller laddade partiklar (det handlar om att E-fältet leder till en liten förskjutning hos laddningsfördelningen i isolermaterialet, alltså en polarisering av materialet). Hur som helst så är termen mycket betydelsefull i fältteori då den ser till att Maxwells ekvationer uppfyller lagen om bevarande av laddning (laddningskonservering) som är lika viktig som lagen om energikonservering, samt den behövs för att förklara utbredningen av elektromagnetiska vågor. Amperes lag, som gäller även för tidsvarierande fält, lyder: Cirkulationen av H = Iomríngad =Iledning + Iförskjutning = Iledning + ε·plattarea·dE/dt. Som tidigare förutsätter vi här att E inte beror av rumspositionen så att vi kan multiplicera med arean utan att behöva ta till integrering. Den nya termen kallas (som nämnt ovan) för förskjutningsströmmen och är i själva verket tidsderivatan av det elektriska flödet d(ΦE)/dt. Med ett tidsvarierande E-fält mellan plattorna hör då via Amperes lag ihop ett cirkulerande H-fält och dessa tillsammans bildar ett effektflöde (S) in i eller ut ur området mellan plattorna: kondensatorn laddas upp eller laddas ur. Demonstrationsexempel om uppladdning av kondensator ur ett fältperspektiv Studie av plattkondensatorns funktionsprincip ur ett fältteoretiskt perspektiv. Vi fann ett samband mellan strömmen in i / ut ur plattan var lika som som storheten ε·plattarea·dE/dt, vilket kan skrivas på den från kretsteori bekanta formen i=C·dU/dt. Mellan plattorna i en ideal kondensator ingen "vanlig ström" utan det handlar om ett tidsvarierande E-fält. Uppladdning och urladdning kan beskrivas i termer av Poyntingvektorn och vi visade att vid uppladdning så är den är riktad radiellt in mot området mellan plattorna (E × H där H fås med Amperes lag med enbart förskjutningsströmmen i högerledet, cirkulationsrikt. av H fås med högerhandregeln genom att sätta tummen i dE/dt-rikt., fingrarna visar då cirkulationsriktningen). Energin som tillförs via fältet blir 0,5·ε·volym·|E|2 och kan skrivas som (det bekanta formeln?) 0,5·C·U2. Återigen visar sig ett kretsteoriuttryck ha sitt ursprung i fältteori. Diskussion av en icke-ideal kondensator, d.v.s. en med resistiva förluster: isolermaterialet mellan plattorna tillåts nu ha en ledningsförmåga skild från noll. Området mellan plattorna tillåter nu även "vanlig" ström att läcka (oönskad effekt!) av storleken area·σ·E i kombination med "förskjutningsströmmen" area·ε·dE/dt. Om vi har i tid sinusformad signal så är dessa två "strömmar" fasförskjutna 90 grader! Kondensatorn kan modelleras som en parallellkoppling mellan en ideal kapacitans och en resistor. Om denna kondensator laddas upp och kopplas bort från spänningskällan, så sker en självurladdning genom lagrad laddning på plattorna drivs genom resistor med värmeutveckling som följd. Tidskonstanten (τ, "tau") för detta är τ=R·C=ε/σ. Formeln gäller även generellt i områden där σ & ε har likadan variation med avseende på position. τ ger mått hur snabbt en laddningsobalans "neutraliseras". Lektionen avslutades med diskussion om ytladdningars roll vid framdrivning av strömmen i en ledare. När en spänningskälla ansluts till en ledare (eller genrellt en krets) så sker en snabb omfördelning av laddningar i ledare, på ett sådant sätt att ledarnas ytor får en laddningsfördelning som till sammans med fältet från källan ger ett E-fält som är överallt riktat i strömriktningen och har en storlek som motsvara strömmen (via ohms lag, strömtätheten J=σ·E). Vi "vet" av erfarenhet att strömmen har samma värde och följer ledarna i en likströmskrets, oberoende hur ledarna är orienterade i rummet. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lektion 16 (19/9, 2h, Övning) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Räknestuga. ----------------------------------------------------------------------------------- Läsvecka 3 ------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 15 (16/9, 2h, Poyntingvektorn (energitransport)) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Effektflöde och Poyntingvektorn Överföring av energi per tid och tvärsnittsarea beskrivs med storheten Poyntingvektor S=E×H=(E×B)/μ, som har enheten watt/kvadratmeter. S är en vektorstorhet, d.v.s. har såväl riktning som storlek. Multiplikationen här är en vektorprodukt ("kryssprodukt"), så riktningen bestäms enkelt med högerhandsregeln: sträck ut tummen + fingrar, sätt E längs tummen, B längs fingrarna, S pekar då rakt upp ur handflatan. Energin är lokaliserad i fälten och överförs med hjälp av dem. Inget effektlöde i själva ledarna (så länge de kan anses vara utan resistans). Den enda effekt effekt som finns i själva ledarna är deras resistiva förluster. Ledarnas uppgift är att "styra" effektflödet från källa till last genom att styra hur fälten fördelar sig i rummet. Demonstrationsexempel: -Poyntingvektorn S=E×H (effekt per tvärsnittsarea mellan ledarna) i en plattledning som matas med en likspänningskälla och avslutas med en resistor. Riktning för S visar sig bli från källa in mot last, storleken hos S= konstant i området mellan plattorna (bortse från närmast kanterna) och (ungefär) noll utanför. Beräkning av effekten ger att slututtrycket för effekten är P=UI dvs detsamma som från kretsteori. - Beräkning av E-fältet (Gauss lag), B-fältet (Ampers lag) och Poyntingvektorn (S) i en koaxialledning. Vi fann att effektflödet pekar från spänningskällan mot lasten. Hos koaxialledningen är S proportionell mot 1/r2 i området mellan ledarna (och noll för övrigt). Vi tog även upp hur formeln för E-fältet kan uttryckas med spänningen mellan ledarna (integrera E-fältet från ytter- till innerledaren) och skissade hur man genom att integrera Poyntingvektorn (som inte är konstant, utan varierar med rumspositionen) beräknar genom integration över tvärsnittsytan mellan ledarna, den totala effekten P (som blir =UI ...). -Extra (gjordes ej på lektionen): En graf med E-fältet och D-fältet i en koaxialledning med radiellt varierande permittivitet finns bland "GRAFER" i Dokumentmappen). Förslag på hemarbete innan nästa lektion: -Visa att P=UI i en koaxialledning genom att integrera Poyntingvektorn över hela tvärsnittet (ledtråd: bestäm ett uttryck för den "lilla" effekt dP som överförs i en tunn ring med radien dr på avståndet r från centrum och addera sedan dP från alla "ringar" mellan inner- och ytterledaren genom att integrera). -Skissera Poyntingvektorn i en likströmskrets bestående av en spänningskälla, ledare och en resistor. Testa gärna "CircuitSurveyor" (länk finns här på hemsidan) som visualiserar effektflödet i kretsar. Läs också i artiklar om effektflöde (Poyntingvektorn), länkar finns här på hemsidan. -Bestäm Poyntingvektorn kring (och effektutvecklingen i) en cylinderformad resistor. Lägg en spänning U över en cylinderformad resistor (radie=r, längd=h, konduktivitet=sigma). Bestäm E-fältet och B-fältet vid cylinderns mantelyta och bestäm ett uttryck för Poyntingvektorn (och dess riktning) och effekten P. Visa därmed att den elektromagnetiska energin kommer in i resistorn utifrån genom mantelytan, samt att den resulterande formeln för effekten som fås med fältteori överensstämmer med formeln från kretsteori. Ledtråd: Sambandet mellan resulterande strömtäthet (J, enhet ampere/m2), det elektriska fältstyrkan och ledarens konduktivitet (ledningsförmåga) är Ohms lag: J=σ·E. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 14 (15/9, 2h, Maxwells ekvationer: Amperes lag) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Maxwells ekvationer De grundläggande ekvationerna i elektromagnetism kallas Maxwells ekvationer, som utgörs av två flödesekvationer (Gauss lag för E, resp. B-fältet), samt två cirkulationsekvationer (Amperes lag, Faradays lag). LÄS I ELLÄRABOKEN OCH DET LILLA HÄFTET OM MAXWELLS EKVATIONER (och en del korta övningsuppgifter på detta tema) som finns i Dokumentmappen här i pingpong! Där finns även länkar till on-line böckerna av Ida samt Radi & Rasmussen som innehåller bra texter om elektromagnetism. Maxwells ekvationer beskriver samband mellan elektriska fältet, magnetfältet, laddningar och strömmar. Dessa kan uttryckas som differentialekvationer (som då beskriver vad som händer i en rumsposition vid en viss tid) eller i integralform (där man betraktar ett helt rumsområde). Vi använder den senare och arbetar då med två ekvationer som beskriver "flöden" (Gauss lagar) och två ekvationer som beskriver virvlar (=cirkulation) (Amperes lag, Faradays lag). -Repetition av Gauss för elektriskt fält (se tidigare lektion). -Diskussion av Gauss lag för magnetfält (totala magnetiska flödet genom en sluten yta är alltid noll) och dess implikation att magnetfält bildar slutna linjer samt avsaknad av magnetiska monopoler (partiklar som endast vore en magnetisk "nordpol" eller "sydpol"). - Faradays lag (induktion) diskuteras senare under kursen. Dagens första huvdtema var: -Cirkulation: dvs tendensen för en vektorfält att "vrida sig". Analogi med virvlar i en vätska, där virveln orsakas av något som roterar kring en axel i vätskan (en visp, sked ...). För magnetfältet är det elektriska strömmen som är orsaken till virveln. Cirkulation kan tänkas mätas i ett tankeexperiment där man placerar en "paddel" ner i vätskan och om det finns cirkulation i vätskans "hastighetsfält" så vrider sig eller roterar paddeln. -Amperes lag: Magnetiska cirkulationen kring en "tänkt slinga" = strömmen som omsluts (omringas) av slingan (=strömmen som genomkorsar den öppna ytan vars rand utgörs av slingan). Cirkulationen beräknas som H·slingans omkrets (dvs B/μ·omkretsen) förutsatt att fältet precist följer slingans form (H=magnetiska fältstyrkan i ampere/meter.) Cirkulationsriktningen avgörs med högerhandsregeln för cirkulation: tummen i strömmens riktning, krökta fingrar anger orienteringen för cirkulation dvs magnetfältets orientering. Senare i kursen ska vi lägga till ytterligare en term (s.k. "förskjutningsströmmen") i Amperes lag för att göra den komplett. (En annan beräkningsmetod för magnetfält är att dela upp strömfördelningen i korta strömelement, använda Biot-Savarts lag på dem och addera de individuella bidragen till ett sammanlagt, resulterande fält.) Amperes lag exemplifierades genom att bestämma B kring strömförande ledningar emd följande geometri: - lång och rak ledning, - koaxialledning, - en lång ledning i form av en platta. Resulterande formler finnes bl.a. i formlebladet. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 13 (14/9, 2h, övning) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -Räknestuga -Avslutning av diskussionen kring GE-steg exemplet från lektion 12 (småsignalberäkningar): Beskrivning & diskussion av metoderna. Småsignalberäkningar - Kortslut alla kondensatorer med "stor" kapacitans (d.v.s. tillräckligt liten impedans jämfört med resistorerna) - Kortslut likspänningskällan som ger matningsspänningen VCC. - Ersätt transistorn med dess småsignalmodell, dvs resistansen rπ=β/gm mellan bas & emitter, samt en av basen styrd strömgenerator ic=gm·ube=β·ib mellan kollektor & emitter. Notera att spänningar & strömmar skrivs nu med små bokstäver (precis som för MOS-transistorn) eftersom de beskriver de små avvikelser från vilopunktsvärdena som orsakas av att vi via en kondensator anslutit en signalgenerator (som ger en tidsvarierande spänning med liten amplitud och medelhög frekvens) till ingången. - Rita småsignalschemat. Markera tydligt in de relevanta komponenterna och spänningar/strömmar. - Uttryck uin och uut m.h.a. komponenter och transistorns parametrar ur småsignalschemat. Beräkna spänningsförstärkningen Au=uut/uin och inresistansen samt utresistansen. Spänningsförstärkning Småsignalschema (kortslut stora kondensator och likspänningskällan som ger matningsspänningen VCC), dvs så som kretsen uppfattas av den tidsvarierande signalen uin med "liten" amplitud och "medelhög" frekvens som utgör insignalen som skall förstärkas). "Avkopplad emitterresistor" innebär att man har anslutit en stor kondensator parallellt med med RE. Då kortsluts RE i småsignalschemat och påverkar ej småsignalberäkningarna. [RE har dock en roll i bestämning av vilopunkten ...] Resulterade uttryck: uin=ib·rπ samt uut= -β·ib·RC. Ingångsresistansen i själva transistorns småsignalmodell beräknas som rπ=β/gm=β/(40·ICQ). Spänningsförstärkningen blir därmed Au=uut/uin= - β·RC/rπ In- och utresistansberäkningarna görs med samma metoder som för MOS-transistorn: Inresistans Beräkningsmetod (ej mätmetod! För mätteknik, se lab.2): Håll utgången öppen och anslut en testspänningskälla på ingången (utest), bestäm sedan den resulterande strömmen itest ut från källan. Rin=utest/itest. I vårt exempel blir itest=utest/R1+utest/R2+ib. ib kan i sin tur uttryckas med hjälp av utest=ib·rπ. Resultatet blir Rin=R1||R2||rπ. Beteckningen || avser parallellkoppling. Utresistans Beräkningsmetod (ej mätmetod! För mätteknik, se lab.2): Nollställ oberoende källor (i vårt fall kortsluts insignalen). Anslut en testspänningskälla på utgången (utest), bestäm sedan den resulterande strömmen itest ut från källan. Rut=utest/itest. I vårt exempel blir därmed ib=0 (ty ingången kortsluten) och då är ic=β·ib=0. Strömmen itest flyter då enbart genom RC och Rut=RC. Några extra anmärkningar som inte diskuterades under lektionen: Inverkan av lastresistans Så långt har utgången varit obelastad. Vad händer om en last i form av en resistor RL ansluts till utgången? Vilopunkten påverkas ej eftersom RL ansluts efter kondensatorn vid kollektorn. Småsignalschemat förändras dock eftersom RL där blir parallell med RC. Konsekvensen blir att spänningsförstärkningen minskar och utresistansen minskar. Inresistansen påverkas inte. Inverkan av ej avkopplad emitterresistor Om RE inte har avkopplats signalmässigt med en parallellkondensator, så inverkar den på spänningsförstärkningen och inresistansen (läs även i Molin). Resulterande uttryck blir : uin=ib·rπ+(1+β)·ib·RE samt uut= - β·ib·RC. Au=uut/uin= - β·RC/(rπ+(1+β)·RE) Rin=utest/itest. I vårt exempel blir itest=utest/R1+utest/R2+ib. ib kan i sin tur uttryckas med hjälp av utest=ib·rπ+(1+β)·ib·RE. Resultatet blir Rin=R1||R2||(rπ+(1+β)·RE). Vi noterar att en icke-avkopplad RE leder till lägre Au och högre Rin. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 12 (13/9, 2h, Bipolartransistorn) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -Självverksamhet och efterföljande gemensam diskussion av småsignalschema för ett GG-steg (gemesam gate). -Bipolartransistorn (funktionsprincip, beräkningsmodeller): Kort repetition av fysiken i en pn-övergång. Funktionsprincipen för en bipolartransistor av typen "npn" diskuterades. Den består av ett mycket tunt p-dopat skikt mellan två n-dopade skikt. Anslutning till externa komponenter gör via Bas (till p-dopade skiktet), Emitter och Kollektor (till de två n-dopade skikten). Dessa motsvarar Gate, Source och Drain hos MOS-transistorn. Genom spänningen mellan bas och emitter (UBE) styr man pn-övergången mellan bas och emitter, som då kan göras ledande. Elektroner från emittern kommer in i basområdet där en liten andel rekombinerar, men de flesta passerar och sveps med av E-fältet i den backspända pn-övergången mellan kollektor och bas. Elektroner transporteras därmed mellan emitter och kollektor. Flödet styrs av spänningen UBE. Oftast behandlar man bipolartransistorn som en strömförstärkare där basströmmen Ib resulterar i en kollektorström IC=β·Ib där beta är strömförstärkningsfaktorn (typiskt 100-300). Sambandet ("ingångskarakterisktiken") mellan UBE och IC är densamma som ström-spänningkarakteristiken för en diod: IC=IS·(exp(UBE/VT) - 1) där IS är strömmen om bas-emitterövergången är backspänd( index "s" står för saturation), reverse saturation current, och betecknas i boken även med I1 eller IES. VT kallas "termiska spänningen" och är en temperaturberonde parameter och har värdet ca. 25 mV vid rumstemperatur för kiselbaserad transistor. [Observera att VT INTE är samma sak som tröskelspänning UT i en MOS-transistor!] Ofta approximeras detta för kiselbaserade transistorer med att IC=0 för UBE< ca 0,7 volt och IC=oberoende av UBE för UBE> ca. 0,7 volt. Vid beräkningar är det, precis som i MOS-fallet lämpligt att dela upp spänningar & strömmar i vilopunktsvärden respektive små avvikelser (förändringar orsakade av insignalen som skall förstärkas): IB=IBQ+ib IC=ICQ+ic UBE=UBEQ+ube osv.... Vid vilopunktsberäkningar modelleras npn-transistorn på följande sätt: Mellan bas och emitter placeras en ca. 0,7 V likspänningskälla (pluspol vid basen) . Mellan kollektor och emitter placeras en strömstyrd strömkälla (ICQ=β·IBQ). Mellan bas och kollektor är det avbrott. Vid småsignalberäkningar modelleras npn-transistorn på följande sätt: Mellan bas och emitter placeras en resistor (resistans rπ=β/gm). Mellan kollektor och emitter placeras en strömstyrd strömkälla iC=β·iB, (alternativt ser man det som en spänningstyrd strömkälla, iC=gm·ube). Mellan bas och kollektor är det avbrott. På samma sätt som vid studien av MOS-transistorn, så använder här för bipolartransistorn den allra enklaste modellen för att bygga upp en förståelse för dess funktion i kretsar. I Molin visas även några fler parametrar som lätt kan fogas in (och i ett senare kapitel vad som behöver göras för att kunna beakta transistorns beteende vid höga frekvenser. Transkonduktansen gm definieras i följande resonemang. För beskrivning av hur en liten spänningsändring (ube) på ingångssidan resulterar i en liten strömändring (ic) på utgångssidan används samma metod som för MOS; man lineariserar IC-UBE kurvan kring vilopunkten och ersätter den med tangenten! Riktningskoefficienten blir transkonduktansen gm =dIC/dUBE (värdet ska beräknas i vilopunkten). Deriveringen ger i vårt fall (efter en liten approximation) gm=ICQ/VT=40·ICQ ; här ska strömmen ges i ampere, ty talet 40 har enheten 1/volt då den är 1/VT d.v.s. 1/(25 millivolt). Den resulterande strömändringen ic=gm·ube=β·ib drivs på utgångssidan genom transistorn och resistorer och ger en utsignal (olika beroende var den tas ut, dvs hur kopplingen ser ut) som är en kopia av insignalen men med en annan amplitud och möjligen fasvriden. Utgångskarakteristiken d.v.s. sambandet mellan kollektorströmmen IC och kollektor-emitterspänningen UCE liknar den för ID och UDS för MOS-transistorn. Vid låga UCE är sambandet ungefär linjärt och efter ett tag blir IC oberoende av UCE. Olika UBE (ofta uttryckt med IB) ger olika kurvor. Beräkningsgångarna för bipolartransistor (npn-typ) exemplifierades på ett s.k. GE-steg (Gemensam Emitter koppling) med en signalmässigt "avkopplad emitterresistor: Beräkningsschema för vilopunkten (UBEQ givna, IBQ, ICQ, IEQ, UCEQ) ställdes upp. Nedan beskrivs och diskuteras ideerna & beräkningsstegen. Se också "receptet" på sidan 296 i Molin. Vilopunktsberäkningar - Sätt avbrott i alla kondensatorer - Sätt UBE=0,7 volt - Gör tvåpolsomvandlingar på bassidan (Strömmen in i basen, IBQ, kan inte antas vara noll ...). Använd att ICQ=beta*IBQ och IEQ=IBQ+ICQ. Tillämpa Kirchhoffs lagar och beräkna IBQ och därefter ICQ & UCEQ. Indexet "Q" står precis som i MOS-transistorberäkningar för vilopunkt (quiescent point). Fortsättning följer under övningen lektion 13 (testa gärna själv innan det). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 11 (12/9, 2h, övning) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Räknestuga samt självverksamhet & gemensam diskussion av ett exempel med ett GD-steg (gemensam drain): -beräkningsschema för vilopunkten och resulterande ekvationer -beräkningsschema före småsignaler, resulterande formler för Au, Rin, Rut --------------------------------------------------------------------------------------------- Läsvecka 2 ----------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 10 (9/9, 2h, MOS-transistor) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -Repetition av likspänningsmodeller för NMOS-transistorns olika driftfall (icke-ledande ("strypt"), ledande i linjära området, resp. ledande i mättnadsområdet). Grafer för in- och utgångskaraterisktik. -Vilopunkt: De likströms- och likspänningsnivåer som råder i transistorn när förstärkarsteget inte har någon insignal ansluten. I storheterna betecknas detta med indexet "Q" som står för "quiescent". -Diskussion av hur en insignal ansluts till förstärkaren och var man kan ta ut utsignalen. Rollen av "stora" kondensatorer på ingångssidan och utgångssidan. -Vid inkoppling av en liten signal så kommer sammanlagda spänningarna och strömmarna i kretsen ändras något. Vi kan skriva dessa som summan av vilopunktsvärdet och en liten avvikelse (förändring orsakad av insignalen): ID=IDQ+id UGS=UGSQ+ugs UDS=UDSQ+uds Uttryckt i ord: Små bokstäver används för storheter som anger en liten avvikelse från vilopunktsvärdet (ex.vis sammanlagda spänningen mellan gate och source är alltså vilopunktsvärdet+ugs) -Introduktion av begreppet transkonduktans (enhet siemens eller ampere/volt) som beskriver hur en liten ändring av spänningen på transistorns ingång (ugs) ger en liten strömförändring på dess utgång (id): gm=dID/dUGS=ids/ugs, Man går alltså in i grafen för ID som funktion av UGS och betraktar ett litet område kring vilopunkten, då kan grafen approximeras med en rät linje som är tangenten till grafen (man "lineariserar" kurvan). Därav användningen av derivata, som ger värdet på tangentens riktningskoefficient. Notera att transkonduktans visserligen dimensionsmässigt är en ledningsförmåga men att den kombinerar en ström och en spänning på två olika platser i transistorn. - MOS-transistorns småsignalmodell: Ingångssidan modelleras som ett avbrott mellan gate & source (spänning mellan dem=ugs), utgångssidan som en spänningsstyrd strömgenerator mellan drain & souce (styrs av gaten ...), id=gm·ugs . - Insignalen som en "småsignal": Insignalen, d.v.s den tidsvarierande signalen som skall förstärkas (uin ) antas ha en liten amplitud och en "mellanhög" frekvens och kallas därmed en "småsignal". En liten amplitud gör att även den resulterande ändringen i gate-source spänningen ugs blir liten och då kan ändringen i drainströmmen modelleras som id=gugs (dvs ett linjärt samband). "Mellanhöga" frekvenser avser att de kondensatorer som används vid ingång och utgång uppfattas av signaler vid dessa frekvenser som en "kortslutning" d.v.s. impedansen 1/(2·π·f·C) är liten. Mycket höga frekv. borde intuitivt ge samma resultat, men då gäller tyvärr inte längre den modell vi använder för transistor (eller kondensatorer). Transistorer innehåller också kapacitanser, som inte är medtagna i vår enkla modell, och måste beaktas vid höga frekvenser (den extra intresserade kan läsa mer om detta i avsnitt 9.5 i Molin). Samma gäller kondensatorer som vid mycket höga frekvenser kan uppvisa induktiv karaktär (kommer att diskuteras senare under kursen). -Småsignalschema: Ett beräkningsschema som visar hur signalen (uin, insignalen) som skall förstärkas upplever den faktiska kretsen. "Stora" kopplingskondensatorer (hög kapacitans) vid in- och utgång modelleras som kortslutningar och transistorn ersätts med dess småsignalmodell (spänningsstyrd strömkälla med id=gugs). Fortsättning (från lektion 9) av demonstrationsexempel: Ett GS-steg = (Gemensam Source, som betyder att ingångssidan & utgångssidan har en gemensam punkt på kopplingens sourcedelen) med R1, R2, RD och RS som resistorer, se kretsschema på t.ex. sid. 222 i Molin). Se också lab.2. Ekvationer för vilopunkten ställdes upp lektion 9. Här fortsatte vi med småsignalberökningar. Vilopunkten bestäms med en extern likspänningskälla (VDD) och externa resistorer, vilket gör att inverkan av parametrarna för den i kopplingen använda exemplaret av transistorn minskar. Signalen som skall förstärkas ansluts mellan gate och jord via en kopplingskondensator (stor kapacitans). På så sätt blir potentialen för gate en summa av gatens vilopunkt och signalkällans spänning. Utsignalen tas ut mellan drain och jord, via en kopplingskondensator vid drain. Beräkningsmetod för GS-stegexemplet (för andra typer av transistorförstärkarsteg såsom GD-steg och GG-steg kan samma metoder för uppställning av beräkningsschemat för vilopunkt resp. småsignaler användas, dock blir de resulterande formlerna annorlunda) Repetition av vilopunktsberäkningsgången: -Avbrott i "stora" kondensatorer. -Ersätt transistorn med dess beräkningsmodell för likspänningar ("DC-schema", d.v.s. antag att ingen ström går in i Gate och att transistorn är i mättnadsområdet, ID=(k/2)·(UGS-UT)2. -Tillämpa vanliga kretsteoretiska metoder (spänningsdelning, tvåpolsomvandling, Kirchhoffs lagar m.m.) och beräkna resulterande UGSQ, IDQ, UDSQ, där indexet "Q" står för "quiescent", och betecknar vilopunkt. Se även sid. 222 i Molin. Notera att för UGS blir ekvationen kvadratisk med två lösningar, varav endast en är korrekt (UGS>UT). Småsignalberäkningar: - Rita småsignalschema (kortslut "stora" kondensatorer, kortslut matningsspänningskällan VDD, ersätt transistorn med dess småsignalmodell, se t.ex. sid. 235 i Molin så när som på att vår krets har efter uin även R1 parallellkopplad med R2 ). -Beräkna gm med hjälp av vilopunktsdata. -Beräkna spänningsförstärkningen Au=uut/uin genom att uttrycka dessa spänningar m.h.a. Kirchhoffs lagar tillämpade på småsignalschemat: uin=ugs+gm·ugs·RS, Uut=-gm·ugs·RD. Detta ger Au=-gmRD/(1+ gmRS). Notera att Au är negativ, d.v.s. uut har omvänd polaritet jämfört med uin. Vi har alltså en inverterande förstärkare (fasförskjutning 180 grader mellan utsignal och insignal). Den är också motkopplad då man i småsignalschemat ser att en del av utsignalen (i form av id som ger en spänning över Rs) kopplas tillbaka till ingångssidan (påverkar ugs tillsammans med uin). LÄS OCKSÅ OM MOTKOPPLINGEN I ELEKTRONIKBOKEN (sid. 236). Om gmRS>> 1 så blir Au=-RD/RS (och då liknar uttrycket formeln för spänn.förstärkningen hos en inverterande förstärkare med OP). Au kan alltså ökas genom att sänka RS, nackdelen är dock att detta ger en förändrad vilopunkt. Samma sak (ökad förstärkning) kan även uppnås utan förändring av vilopunkten om RS parallellkopplas med en "stor" kondensator, eftersom för likspänningar är kondensatorn ett avbrott medan för tidsvarierande signalen verkar den som en kortslutning. RS roll är främst att få till en vilopunkt som är relativt oberoende av den enskilde transistorns egenskaper (UT, k etc.) Jämför med exempel för bipolartransistorkoppling senare under kursen! -Beräkna inresistansen Rin (d.v.s. hur insignalkällan som ansluts till förstärkarstegets ingång upplever denna koppling): Beräkningsmetod (ej mätmetod! För mätteknik, se lab.2): Håll utgången öppen och anslut en "tänkt" testspänningskälla på ingången (utest), bestäm den resulterande strömmen itest ut från källan: Rin=utest/itest. I vårt exempel blir itest=utest/R1+utest/R2 ty strömmen in i gate är noll. Resultatet blir Rin=R1||R2. Beteckningen || avser parallellkoppling. LÄS OCKSÅ I ELEKTRONIKBOKEN! -Beräkna utresistansen Rut (d.v.s. hur en annan krets/last som ansluts till förstärkarstegets utgång upplever denna koppling): Beräkningsmetod (ej mätmetod! För mätteknik, se lab.2): Nollställ oberoende källor (i vårt fall kortsluts insignalkällan). Anslut en "tänkt" testspänningskälla på utgången (utest), bestäm sedan den resulterande strömmen itest ut från testkällan: Rut=utest/itest. I vårt exempel blir spänningen ugs noll (ty ingången kortsluten) och då är id=gm·ugs=0. itest flyter då enbart genom RD och Rut=RD. LÄS OCKSÅ I ELEKTRONIKBOKEN! -Inverkan på Au, Rin, Rut av en impedansen RL hos en belastning som ansluts till uut: RD blir i småsignalschemat parallellkopplad med RD och i formlerna ersätts därför RD av RD||RL. D.v.s. Au och Rut sjunker medan Rin är oförändrad. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lektion 9 (7/9, 2h, övning) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Repetition om NMOS-transistorns egenskaper, beräkningsmodell, grafer av Drainströmmen som funktion av drain-source spänningen, respektive drainströmmen som funktion av gate-source spänningen. Demouppgift om likspänningsberäkningar i en krets med resistorer + NMOS-transistor: Se kondensatorer som avbrott (likspänning!), ersätt transistorn med dess beräkningsmodell i mättnadsområdet. Tre ekvationer behövs (då tre obekanta ID, UGS, UDS): 1) sambandet mellan ID och UGS hos transistorn, 2) Spänningsdelning på ingångssidan, 3) Kirchhoffs spänningslag på utgångssidan. Dessa ekvationer ställdes upp för det aktuella exemplet och själva lösningen gavs som självverksamhet utanför lektionstid. Därefter räknestuga. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 8 (6/9, 2h, MOS-transistor) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Repetition av Gauss lag Exempel: Beräkning av E-fältet utanför en linjeladdning (med konstant laddningstäthet=laddning/längd). Resultat: E-fältet varierar som 1/r, d.v.s. avtar långsammare än fältet kring en sfärisk laddningsfördelning. Exempel: Beräkning av E-fältet i ett utsräckt område med konstant laddningstäthet. Resultat: E-fältet varierar linjärt med position, vilket ger en potentialändring som är kvadratisk. Genom diskussion kring bilder och analogier gavs en "snabbkurs" i hur dopade halvledare fungerar, särskilt hur ett E-fält och en potentialskillnad bildas i en s.k. pn-övergång som återfinns i dioder och transistorer (här utnyttjas resultat från exempel ovan att E-fältet varierar linjärt om laddningstätheten är konstant). MOS-transistor: funktionsprincip och egenskaper ----------------------------------------------------------------------- Denna typ av transistorn består av tre skikt: en god ledare (förr metall, numera oftast mycket kraftigt dopat kisel), en isolator (oftast kiseldioxid) och ett substrat (oftast rent kisel, dopat med störatomer). Vi kommer mest att studera en s.k. NMOS transistor av anrikningstyp. Substratet är har då ett stort p-dopat område och två mindre "öar" med kraftig n-dopning.) Externa komponenter kan anslutas via kontakter till dessa områden. Kontakten till "metallen" kallas Gate, till substratet "Body" och till de n-dopade öarna Source resp. Drain. Body och Source är ofta ihopkopplade. Genom att lägga på en spänning mellan Gate och Body (dvs Gate och Source) så bildas ett E-fält som stöter bort "hål" från substratet närmast oxiden och drar till sig fria elektroner, med ett negativt laddat område som resultat. Vid tillräckligt hög UGS bildas då en "kanal" med fria elektroner mellan Drain och Source. Därefter följde en diskussion av hur strömmen (ID) i den kanal som bildas i substratet nära gränsen till oxiden vid tillräckligt hög Gate-Source spänning (UGS) beror av just UGS, spänningen mellan Drain och Source (UDS) och parametrar hos transistorn (tröskelspänningen UT, strömkonstanten k (enhet ampere/volt2), som bestäms av materialegenskaper hos oxiden och kanalen, geometrin och tillverkningsprocessen). Tre "driftområden": 1) UGSUT men UDS litet (UT och UDS > UGS-UT: Transistorn är i "mättnadsområdet" och ID varierar kvadratiskt med UGS-UT men är i stort sett oberoende av UDS : ID=0,5k(UGS-UT)2. Vanligen är man i detta område i förstärkarkopplingar. Nyttiga formler finns på sidan 210 i Molin. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 7 (5/9, 2h, elektriska fältet, Gauss lag) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -Inledning till elektromagnetiska fält: Diskussion av fältbegreppet som ett sätt att beskriva kraftverkan på avstånd: Laddningar (Q) & strömmar (I=dQ/dt) ger upphov till elektriska och magnetiska fält som andra laddade partiklar och strömmar känner av och påverkas därmed av krafter. På gymnasiet blir man bekant med ex.vis E-fältet kring en punktladdning (Coulombs lag) och E-fältet mellan två laddade plattor ("plattkondensatorn") EM-fältet (något utförligare här än under lektionstid): - förmedlar kraftverkan: F=q·(E+v × B) där "×" betecknar vektorprodukt, q är laddningen hos partikeln som påverkas av kraften, v är partikelns hastighet, E är elektriska fältstyrkan och B är magnetiska flödestätheten (magnetiska fältstyrkan betecknas H) hos fält orsakade av andra partiklar. På gymnasiet stöter man på exempelvis Coulombs lag och magnetiska kraften på en partikel i rörelse. - innehåller energi: Energitäthet=energi/volym=0,5·epsilon*|E|2+0,5·|B|2/μ, enhet joule/m3 - överför energi : Effektflöde=E×H=E×B/μ, (obs. vektorprodukt, dvs "kryssprodukt"), enhet watt/m2 -driver strömmar: Ohms lag för fältstorheter J=σ·E, där J är strömtätheten (ampere/kvadratmeter tvärsnittsarea) och σ är konduktiviteten (siemens/meter) som leder till effektutveckling: J·E=σ·|E|2 watt/kubikmeter. Energin i elektriska kretsar är alltså lokaliserad i fälten och överförs via fälten! Permittiviteten ε & permeabiliteten μ är materialberoende faktorer som beskriver det omgivande mediets elektriska och magnetiska egenskaper. Konduktiviteten "sigma" i sin tur beskriver materialets ledningsförmåga (och därmed påverkar hur hög "förlusteffekten" (omvandling til termisk energi) blir. Grundläggande storheter för det elektriska fältet: E (elektrisk fältstyrka, enhet volt/meter), D=ε·E (elektrisk flödestäthet, enhet coulomb/kvadratmeter=ampere*sekund/kvadratmeter), epsilon är permittiviteten, dvs mediets kapacitans/meter. ΦE=D·A (om D lika stor och vinkelrät mot arean A på hela ytan) (elektriska flödet genom en sluten yta, enhet coulomb) För magnetfältet finns motsvarande storheter men dessa diskuterar vi senare i kursen. Fältstorheterna ovan är vektorer, dvs kan representeras av pilar då såväl styrka (storlek) som riktning är av betydelse. En alternativ representation är fält är med fältlinjer (med angiven riktning), där fältriktning i en viss punkt ges av tangenten till linjen och styrkan avgörs av hur tätt linjerna ligger (hög linjetäthet=hög styrka). Gauss lag för det elektriska fältet ---------------------------------------------------------------------------- Maxwells ekvationer De grundläggande ekvationerna i elektromagnetism kallas Maxwells ekvationer, som utgörs av två flödesekvationer (Gauss lag för E, resp. B-fältet), samt två cirkulationsekvationer (Amperes lag, Faradays lag). LÄS I ELLÄRABOKEN OCH DET LILLA HÄFTET OM MAXWELLS EKVATIONER som finns bland Dokument här i pingpong! MER OCH BETYDLIGT UTFÖRLIGARE LÄSNING OM FÄLTTEORI FINNS I LITTERATURLISTAN. SE OCKSÅ LÄNKAR TILL e-böcker tillgängliga via biblioteket! Läsanvisningar till två av dem finns här på hemsidan. Denna gång diskuterades Gauss lag för E-fältet. Beräkningsmetoder, statiska E-fält 1) Dela upp laddningsfördelningen i punktkällor, använd Coulombs lag på dem och addera resulterande fält (fält kan superponeras). 2) Gauss lag: Flödet av E-fältet genom en "tänkt yta" = laddningen som innesluts av ytan. Elektriska flödet beräknas som D·ytans area (dvs ε·E·area) förutsatt att fältet är lika stort i varje position på den tänkta ytan och genomkorsar ytan vinkelrätt överallt.Fältet i sin tur kan då uttryckas unegfärligen som E=Q/(A ·ε). Tillämpning av Gauss lag exemplifierades med diskussion av fältet utanför: - ett laddat sfäriskt skal (leder till Coulombs lag, E avtar med avståndet från sfärens centrum i kvadrat), -en tunn, utsträckt laddad platta (konstant laddning/yta, som ger ett E-fält som är oberoende av avståndet från plattan - Två tunna laddade plattor ("plattkondensator"): superponera fälten från två enskilda plattor. Resultatet blir att sammanlagda fältet mellan plattorna är dubbelt så starkt som för en platta, medan fältet utanför plattorna är ungefär noll. Samband mellan fältstyrka (E) och potential (V): om E varierar enbart i en dimension (t.ex. i x-led) så är E= - dV/dx. Minustecknet innebär att om man förflyttar sig i en riktning motsatt fältriktningen så ökar potentialen. Exempelberäkning av E-fältet inne i och utanför en sfär med konstant laddningstäthet (rymdladdning dvs laddning/volym). Resultat: E-fältet varierar linjärt med avståndet från centyrum fram till sfärens ytan, därefter avtar E som 1/r2. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Läsvecka 1 ----------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 6 (2/9, f.m. 2h, övning) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Demoexempel om slew rate. Demoexempel om förströmmar och offsetspänning. Räknestuga. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 5 (4/9, f.m. 2h, Operationsförstärkare) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -Presentation av en beräkningsmodell över en generell förstärkare (spänning till spänningförstärkning) inkluderande in- och utresistans samt en spänningsstyrd spänningskälla. Se också repetitionsfråga 12. Egenskaper hos en ideal operationsförstärkare: Rin->oändligheten Rut=0 Spänningsförstärkning (Av) -> oändligheten Inget frekvensberoende hos Av medför oändlig bandbredd Två grundkopplingar med idela OP (något mer utförligt här än under lektionstid, se också repetitionsfråga 13): Inverterande respektive icke-inverterande förstärkare. Båda använder sig av negativ återkoppling ("motkoppling"), d.v.s. en del av utsignalen återförs till minusingången. Av bestäms därmed av de externt anslutna resistorerna och inte av OP:ns egen förstärkning (och förstärkaren blir även stabilare). Kretsen reglerar utspänningen "automatiskt", så att spänningen på minusingången följer den på plusingången. Följande kan alltså antas vid beräkningar på en negativt återkopplad ideal OP: 1) strömmarna in på plusingången och minusingången är båda noll, 2) plusingången och minusingången har samma potential, d.v.s. spänningen mellan dem är noll. Egenskaper hos en icke-ideal OP. Icke-ideal OP -Rin ändlig, Rut skild från noll. -Uut och Iut är begränsade, ger restriktioner på insignalen toppvärde samt värden på externa resistorer. -Au ändlig och frekvensberoende: Förstärkningen beror av frekvensen pga den kapacitans som finns inne i OP:n av stabiliseringsskäl. Detta modelleras i form av en RC-länk som fungerar som ett lågpassfilter. Maxförstärkning (typiskt 200 000 gånger för icke-återkopplad förstärkare) nås endast vid låga frekvenser, fram till en brytfrekvens på (typiskt) ca. 10 Hz, därefter faller förstärkningen approximativt som 1/f. Detta ritas lämpligen som en graf med logaritmisk skala på båda axlarna (dB för förstärkning, gradering av frekv. i tiopotenser). Då motsvaras 1/f trenden av en rät linje som lutar -20 dB per dekad, där en dekad är en ökning av frekvensen med en faktor 10. |A|·f=konstant längs den fallande linjen, detta kallas förstärkning-bandbreddprodukt (FB-produkt), i datablad används ofta beteckningen unity-gain-bandwidth, som är frekvensen vid vilken |A| blivit 1 gånger (=0 dB). FB-produkten kan också användas för att bestämma brytfrekvenser för återkopplade förstärkare, |A|=konstant fram tills man möter den del av grafen för ett icke-återkopplat system där |A| avtar med 20dB/dekad. Vid skärningspunkten kan brytfrekvensen för det återkopplade systemet avläsas. Slew rate=SR=maxvärdet av utsignalens tidsderivata, dvs största förändringstakten räknat i volt/sekund som utsignalen kan ha. Inverkar på maxfrekvens och amplitud hos t.ex. en sinusformad insignal i en spänningsföljare. Överskrids SR så blir utsignalen distorderad. En insignal i form av ett spänningssteg ger en utsignal som är rampformad fram tills slutnivån har nåtts. Orsaken till SR är densamma som för frekvensberoendet hos Au: kapacitansen som finns inne i OP:n av stabiliseringsskäl. -Förströmmar & offsetspänning leder till en likspänningsnivå (DC-nivå) på utgången även om insignalen är noll. Detta modelleras (se figur bland "Dokument" härpå hemsidan) genom att låta den icke-ideala OP:n innehålla en ideal OP, samt strömgeneratorer (två st med IIB = input bias current, en med 0,5·IIO = 0,5·input offset current och en spänningsgenerator (VIO= input offset voltage). Dessa är angivna i datablad och är kombinationer av de "verkliga" inströmmarna på den icke-ideala OP:ns ingångar IB+ och IB-: IIB=0,5·(IB+ + IB-) dvs medelvärdet av förströmmarna IIO=IB+ - IB- dvs skillnaden mellan förströmmarna -Det finns även andra egenskaper hos icke-ideala OP som är av betydelse, såsom CMRR och PSRR. Läs själv i elektronikboken! Demo av datablad för en operationsförstärkare. Demoexempel om förstärkningens frekvensberoende. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 4 (31/8 e.m. 2h, övning) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Beräkningsexempel på en serieresonanskrets (resonansfrev., strömmens frekv.beroende, spänningsnivåer). Grafer av P som funkt. frekvensen för olika Q-värden. Därefter räknestuga ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 3 (31/8 f.m. 2h, resonans) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -Repetition av effektanpassning: demoräkning av exempel. Resonans När resonans råder i en krets så är: - spänningen och strömmen i fas (de oscillerar i takt, ex.vis inträffar deras max.värden samtidigt), eftersom impedansen (eller admittansen) är reell, -impedansen (admittansen), strömmen, effektutvecklingen visar starkt frekvensberoende. Frekvenserna för dessa storheters extremvärden (max, min) i en och samma krets behöver inte nödvändigtvis sammanfalla. Funktionen hos en ren serieresonanskrets resp. en ren parallellresonanskrets diskuterades. Bandbredd (B) Vidden av det frekvensområde (vinkelfrekvensområde) där effekten är minst 50% av max.effekten. Om serieresonanskrets, så ökar B om resistansen ökar, d.v.s. resonanskurvans topp blir bredare. Godhetstal (Q-värde) Tema växelströmslära avslutades med diskussion av begreppet "Q-värde", som är ett mått på resistiva förluster i huvudakligen reaktiva kretsar/komponenter. I engelsk litteratur kallas fallet då en komponent karakteriseras "unloaded Q" (komponenten är ej ansluten till någon "last", medan om en krets avses: "loaded Q". Q=2 pi ·(max. energi upplagrad i reaktiv del av komponenten eller kretsen)/(energiutveckling under en period i resistiv del av komponenten eller kretsen). Högt Q innebär låga förluster. Ex. på Q-värdet för en seriekoppling av induktor & resistor. Gör själv: parallellkoppling av kondensator & resistor samt serieresonanskrets. Diskussion av anpassning med "L-nät": Källans inre resistans och lastresistansen är då givna (och ändras ej), anpassning sker genonm inkoppling av en LC-länk (hög- eller lågpassfilter mellan källa & last). Anpassningsvillkoret är konjugatanpassning. Se uppgift AC16 och framåt. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 2 (30/8 Komplexa metoden, effektanpassning) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Elektriska storheter i kretslära Diskussion om växelström ("ström som byter riktning") och särskilt då tidsberoendet är sinusformat (eller cosinusformat). Signalen karakteriseras då av amplitud (toppvärde), period (alternativt frekvens eller vinkelfrekvens) och fasförskjutning (som egentligen är en tidsförskjutning med anges oftast som en vinkel, "fasvinkeln") relativt någon storhet i kretsen som används som referens. Spänning, ström, impedans, resistans, reaktans, induktans, kapacitans osv... -Eulers formel e j θ = cos(θ)+jsin(θ) ger sambandet mellan exponentialfuntionen och sinus & cosinus och används för att representera elektriska storheter såsom strömmar & spänningar med komplexa tal. -Derivering i tid motsvaras här av multiplikation med jω. Vilket leder till att impedansen för kondensator respektive induktor kan skrivas som Zc=1/(jωC) resp. ZL=jωL eftersom sambandet mellan spänning & ström för dessa komponenter är ic=Cduc/dt resp. uL=LdiL/dt. -Admittans Y=1/Z (enhet siemens) är ofta att fördra vid beräkningar i parallellkopplade kretsar. Två parallellkopplade komponenter med admittanserna Y1 och Y2 har den totala admittansen Y=Y1 +Y2. Komplexa metoden för växelströmsproblem -Spänningar & strömmar med sinusformad tidsvariation, samt impedanser, representeras med komplexa tal. [exp(jωt) behöver ej tas med då den återfinns i samtliga termer och kan därmed förkortas bort i beräkningarna.] -Beräkningsmetoder från likströmslära (Ohms lag, Kirchhoffs lagar etc.) används på de komplexa storheterna. -Spänningars och strömmars tidsberoende erhålls genom att multiplicera den komplexa storheten med exp(jωt) och extrahera imaginärdelen (eftersom sinus använts som referens, alt. realdelen om referensen är cosinus). Beräkningsexempel demonstrerades. Beräkning av medeleffekten i enbelastning med impedansen Zb=Rb + jXb Pmedel=0,5 Re(U I*)=0,5 |I|2 Rb där I* betecknar strömmens komplexkonjugat. Effektanpassning Målet är att maximera effektutvecklingen i en belastning med impedansen Zb=Rb+jXb som är ansluten till en källa (generator) med inre impedansen Zo=Ro+jXo. Vi studerar två fall. Fall 1: Zb kan väljas fritt, dvs Rb och Xb kan varieras oberoende av varandra. Medeleffekten i belastningen, Pb=0,5·Rb·|Ib|2 , maximeras om Zo=komplexkonjugatet av Zo, alltså Rb=Ro och Xb = -Xo. Metoden kallas "konjugatanpassning". Fall 2: Zb har fixerad fasförskjutning, |Zb| kan varieras (t.ex. Zb=Rb). Pb maximeras om |Zb|=|Zo|, d.v.s Rb=|Zo| om Zb rent reell. ------------------------------------------------------------------------------------------ Lektion 1 (kursintroduktion, 29/8) -------------------------------------------------------------------------------------------- -Cirkulation av labgruppslistor -Kort beskrivning av kursinnehållet och arbetssättet, samt förändringar jämfört med föregående läsår -Genomgång av lärandemål -Eget arbete och efterföljande gemensam diskussion med utdelade diagnostiska (repetitions)frågor (de finns även här på hemsidan) om elektriska kretsar och komplexa tal från årskurs 1. Vid behov: Repetera mer på egen hand. Lite längre fram, när vi närmar oss kursavsnitten om elektromagnetiska fält så är det bra att göra diagnostiska frågor som berör det och läsa aktuella delar av ett sammandrag av gymnasiefysik (om ellära & magn.) som också finns också här på kurshemsidan (i mappen TEXTER). --------------------------------------------------------------------------------------